Bernard Bolzano: Band II,B,12,2: Miscellanea Mathematica 22

In den Jahren der Zurückgezogenheit nach seiner Entlassung 1819 als Inhaber des Lehrstuhls für Religionswissenschaft an der Universität Prag beschäftigte sich Bolzano mit den logischen Grundlagen der Mathematik und den Grundlagen der Logik. Diese Untersuchungen haben in seiner Wissenschaftslehre ihren Niederschlag gefunden. Als er nach etwa einem Jahrzehnt zur reinen Mathematik zurückkehrte, begann er ein neues, enzyklopädisches Werk, die Größenlehre, zu entwerfen. In den vorliegenden Notizen findet sich ein genau gegliederter Plan dieses Werkes aus dem Jahr 1831. In der Darstellung der ersten arithmetischen Begriffe versucht Bolzano gegenstandlose Begriffe zu vermeiden. Einige gegenstandlose Begriffe sind imaginär. Über imaginäre und irrationale Größen in der Zahlentheorie berichtet er im Anschluss an die zeitgenössische wissenschaftliche Zeitschriftenliteratur. In Anlehnung an Legendres Diskussion über Galois’ Problem der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen schlägt Bolzano eine einfache Methode vor. Er berichtet ausführlich über Gergonnes geometrische Betrachtung zu Newtons Methode, die Wurzeln einer numerischen Gleichung durch Annäherung zu finden und liefert ein Gegenbeispiel zu Fouriers Behauptung, dass ein Merkmal der Existenz reeller Wurzeln einer Gleichung auch für transzendente Wurzeln gelte. Er versucht ferner eine einfachere Formulierung des Beweises von Cauchy, dass jedes Polynom eine komplexe Wurzel hat, zu finden. Bolzano prüft die Beweise einiger berühmter Lehrsätze der Analysis. Er erwähnt Cauchys einfachen und strengen Beweis des Taylorschen Lehrsatzes und Crelles Versuch einer Erweiterung desselben im Rahmen einer allgemeinen Theorie der analytischen Fakultäten. Er beschäftigt sich mit der Lehre vom Unendlichen bei Cauchy, untersucht verschiedene Lehrsätze und kommt zur Theorie der Berührung. Er diskutiert unendliche Reihen. Unendlich große und kleine Zahlen gibt es nicht, diese Begriffe sind gegenstandlos. Die zentralen Begriffe der Stetigkeit und der stetigen Funktionen werden an mehreren Stellen behandelt. Besonders beachtenswert ist die Erörterung über die Bestimmbarkeit der Funktionen. Man hat einen Widerspruch zwischen Bolzanos Functionenlehre und seinen Paradoxien des Unendlichen gesehen. Ein Ausweg aus diesem Widerspruch erfordert eine genaue Bestimmung des Begriffs der Bestimmbarkeit. Eine stetige Funktion f ist genau bestimmbar, wenn der Unterschied f(x+∆x) –f(x) innerhalb gewisser einander auch noch so nahe liegender Werte von x dasselbe Vorzeichen behält. Eine bestimmbare Funktion ist somit eine stetige, stückweise monotone Funktion.